第 三 題

這題在考實作。把求母群平均數 $\mu$ 信賴區間的公式寫出來看看：$\bar{X} \pm (臨界值 \times \frac{s}{\sqrt{n}})$。看看這個公式裡需要幾個零件？第一個代表樣本狀況的中心是？第二個關於樣本大小的是？第三個變異程度的是？第四個決定95%寬度的是什麼值（Z值或t值）？

「點」估計和「區間」估計，顧名思義，一個是一個點，一個是一個範圍。當我們要猜全校學生的平均身高（母體參數），我猜「剛好 165 公分」，這屬於哪一種？我猜「在 162 到 168 公分之間」，這又是哪一種？試著用正式的統計語言定義它們。

區間估計是怎麼算出來的？想想信賴區間的公式：$CI = \bar{X} \pm (Z \times 標準誤)$。公式裡面的 $\bar{X}$ 是什麼？是不是就是點估計值？這代表區間估計是圍繞著誰建立出來的？點估計雖然精確但容易出錯，區間估計則提供了一種容錯的空間，兩者相輔相成。

這是全統考最常考的觀念題！「95%信賴區間」的意思，可以說成「母群平均數有 95% 的機率落在這個區間內」嗎？絕對不行！母群平均數是一個固定的數字，它「在就在，不在就不在」（機率是 1 或 0）。所以 95% 到底是指誰的機率？想像你重複抽樣 100 次，算出 100 個不同的區間，這 100 個區間裡面大約會有多少個包含真正的母群平均數？

把推論統計的兩大武器放在一起看。如果我算出 95% 信賴區間是 [100, 110]。今天有人提出一個虛無假設 $H_0: \mu = 90$。你發現 90 不在這個區間裡面，你會怎麼做決定？如果虛無假設 $H_0: \mu = 105$，105 在區間裡面，你又會怎麼決定？信賴區間和雙尾假設檢定，是不是同一件事的兩面？