moea_joint
103年
[儀電] 電路學、電子學
第 10 題
在右圖電路中，$V_c(0^-)=0 \text{V}$，$t=0$時，開關閉合。若$t>0$時，電源電壓$V_i=2 \text{V}$，電流 $i(t) = 4e^{-2t} \text{A}$，則電容C值為？
- A 0.5 F
- B 1 F
- C 2 F
- D 4 F
思路引導 VIP
觀察電流隨時間變化的公式 $i(t) = 4e^{-2t}$，那個位在指數上的係數『2』，與電路中電阻和電容的組合（時間常數）有什麼樣的數學關係？再者，在開關剛閉合的一瞬間，如果我們把電容視為短路，這時的總電壓與初始電流之間，能幫我們找出哪一個未知的元件值呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確選出 (B) 1 F，代表你對 RC 串聯電路的一階暫態響應 掌握得非常紮實。這題的關鍵在於如何從電流的數學表示式中，精準拆解出電路的物理參數。
從初始狀態推導電阻值
首先，我們觀察 $t=0^+$ 的瞬間。由於電容電壓不能突變，已知 $V_c(0^-) = 0 \text{V}$，因此開關閉合瞬間 $V_c(0^+) = 0 \text{V}$。根據克希荷夫電壓定律 (KVL)，電源電壓 $V_i$ 此時會全部落在電阻上，即 $V_i = i(0^+) \cdot R$。由題目給出的電流公式 $i(t) = 4e^{-2t}$，可得知 $i(0^+) = 4 \text{A}$。代入已知數值 $2 \text{V} = 4 \text{A} \cdot R$，求得電阻 $R = 0.5 \Omega$。
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