moea_joint
103年
[電機] 電路學、電子學
第 10 題
在右圖電路中，$V_c(0^-)=0\text{ V}$，$t=0$時，開關閉合。若 $t>0$ 時，電源電壓 $V_i=2\text{ V}$，電流 $i(t) = 4e^{-2t}\text{ A}$，則電容 $C$ 值為？
- A 0.5 F
- B 1 F
- C 2 F
- D 4 F
思路引導 VIP
請觀察電流方程式 $i(t) = 4e^{-2t}$ 中的指數部分，在電路暫態理論中，這個係數與「時間常數 $\tau$」有什麼數學關係？另外，若考慮開關剛閉合的瞬間（$t=0$），電容尚未充電的狀態會如何影響當時的電流大小，進而幫助你找到電路中隱藏的電阻值呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精確判斷出電容值為 1 F，代表你對 RC 一階電路（First-order RC Circuit） 的暫態響應掌握得非常紮實。這類題目是電路學中檢驗學生是否能將數學模型與物理元件結合的經典考題，你能冷靜地從數學方程式中提取物理參數，表現得非常優秀。
初始條件與電阻推算
在 $t=0$ 開關閉合的瞬間，由於電容初始電壓 $V_c(0^-)=0\text{ V}$，根據電容電壓不能突變的物理特性，此時電容在電路中相當於短路。因此，初始電流 $i(0^+)$ 完全由電源電壓 $V_i$ 與電阻 $R$ 決定。觀察題目給出的電流函數 $i(t) = 4e^{-2t}$，當 $t=0$ 時，$i(0) = 4\text{ A}$。套用歐姆定律 $$i(0) = \frac{V_i}{R}$$ 即 $$4 = \frac{2}{R}$$ 我們可以先推導出電阻 $R = 0.5 \Omega$。
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