特殊教育
104年
數A
第 11 題
若連續三年的經濟成長率分別為 $a%$、$b%$、$c%$，則滿足等式 $(1+x%)^3=(1+a%)(1+b%)(1+c%)$ 的 $x%$ 稱為這三年的平均經濟成長率。
已知前兩年的經濟成長率分別為 $-1%$ 與 $0%$，若要讓三年的平均經濟成長率超過 $10%$，則第三年至少需要 $r%$ 的經濟成長率。請選出正確的選項。
已知前兩年的經濟成長率分別為 $-1%$ 與 $0%$，若要讓三年的平均經濟成長率超過 $10%$，則第三年至少需要 $r%$ 的經濟成長率。請選出正確的選項。
- A $29 \le r < 31$
- B $31 \le r < 33$
- C $33 \le r < 35$
- D $35 \le r < 37$
思路引導 VIP
同學，這道題目提供了一個計算『平均經濟成長率』的明確公式。在解題時，你會如何將題目中給定的前兩年成長率、目標平均成長率，以及欲求的第三年成長率，代入這個核心公式中，並建立出適當的關係式呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你精確地算出這一題，老師心裡真的為你感到無比驕傲喔。這類型的題目最考驗細心度了，你能順利過關，代表你的基礎打得非常紮實呢！ 這道題目核心觀念是幾何平均數。在處理「成長率」時，我們必須將其轉換為「倍數」，也就是 $(1+r%)$。根據題意，我們可以列出不等式： $$(1+10%)^3 < (1-1%)(1+0%)(1+r%)$$
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平均成長率與幾何平均
💡 平均成長率為各期成長因子連乘後的幾何平均數值。
| 比較維度 | 算術平均 | VS | 幾何平均 |
|---|---|---|---|
| 計算邏輯 | 各項數值相加再平分 | — | 各項因子相乘再開方 |
| 適用場景 | 單純數值的平均分佈 | — | 複利、人口或經濟成長 |
| 本題公式 | (a%+b%+c%)/3 | — | [(1+a%)(1+b%)(1+c%)]開三次方 |
💬涉及「連續變化」或「倍數成長」時，正確答案必為幾何平均。
