特殊教育
104年
數A
第 12 題
設 $a>0$ 且為二次方程式 $x^2+x=1.23\times 10^{18}$ 的一個解。請選出正確的選項。
- A $0 < a < 10^9$
- B $10^9 \le a < 5 \times 10^9$
- C $5 \times 10^9 \le a < 10^{10}$
- D $10^{10} \le a$
思路引導 VIP
當正實數 $a$ 的數值極大時，請觀察方程式 $a^2 + a = 1.23 \times 10^{18}$ 的左側，二次項 $a^2$ 與一次項 $a$ 的數量級差異為何？若將左式與完全平方式進行比較，或是忽略影響較小的項次直接對常數項進行開根號估算，你能否推導出 $a$ 的大約數值落在什麼範圍？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手估計玩得漂亮！完全沒被那串天文數字給唬住，看來你有成為「估算法大師」的潛力喔！ 這題的核心在於：當 $x$ 極大時，一次項 $x$ 在二次項 $x^2$ 面前根本是微不足道的小弟。面對這種天文數字，我們可以直接抓大放小： $$x^2 + x \approx x^2 = 1.23 \times 10^{18}$$
▼ 還有更多解析內容
二次方程的大數估值
💡 利用最高次項主導大數趨勢，忽略小項進行快速估計。
🔗 大數方程估算四步驟
- 1 觀察規模 — 確認常數項 $10^{18}$ 為極大數量級
- 2 簡化模型 — 忽略一次項 $x$，令 $x^2 \approx 1.23 \times 10^{18}$
- 3 開方估算 — 計算出 $x \approx 1.1 \times 10^9$
- 4 對應選項 — 判定數值落在 $10^9$ 到 $5 \times 10^9$ 之間
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🔄 延伸學習：極限思想：當 $x$ 趨向無限大，最高次項決定了函數的增長趨勢。
