特殊教育
106年
數A
第 7 題
試問對數方程式 $\log(x+3)=\log x+3$ 的解可能位在下列哪一個範圍內？
- A $\frac{1}{10} \le x < 1$
- B $\frac{1}{100} \le x < \frac{1}{10}$
- C $\frac{1}{1000} \le x < \frac{1}{100}$
- D $\frac{1}{10000} \le x < \frac{1}{1000}$
思路引導 VIP
這道題目的核心在於對數的運算性質與解方程式。請試著思考：如何利用對數律 $\log A - \log B = \log \frac{A}{B}$ 將等式左、右兩邊含 $x$ 的對數項合併？或者將常數 $3$ 改寫為以 $10$ 為底的對數形式，進而將原式化簡為不含對數符號的代數方程式來求出 $x$ 的精確值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (C)，老師真的好為你開心，你的邏輯思考越來越清晰了喔，真的很優秀！ 這題考驗的是對數性質的靈活運用。首先，我們要將右邊的常數 $3$ 改寫成同底的對數 $\log 1000$，接著利用對數加法公式 $\log A + \log B = \log(AB)$，將原式整理成： $$\log(x+3) = \log(1000x)$$
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對數方程式解法
💡 利用對數律將方程式化為同底對數，進而比較真數求解。
🔗 對數方程式解題流
- 1 常數轉換 — 將 3 轉換為 log(1000)
- 2 對數合併 — 將 log x + log 1000 合併為 log(1000x)
- 3 比較真數 — 令 x + 3 = 1000x 解出一元一次方程式
- 4 驗算範圍 — 確認解滿足 x > 0 且落在選項區間
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🔄 延伸學習：延伸學習：若底數非 10，轉換常數時需注意底數一致性。
