moea_joint
104年
[機械] 應用力學、材料力學
第 23 題
相同材料及長度之矩形懸臂梁，A 梁斷面寬 8 公分、高 27 公分；B 梁斷面寬 9 公分、高 24 公分；C 梁斷面寬 13 公分、高 18 公分；D 梁斷面寬 18 公分、高 13 公分，則何者可承受的彎矩為最大？
- A A 梁
- B B 梁
- C C 梁
- D D 梁
思路引導 VIP
如果你手中有一把長尺，試著分別以「平放」與「立著」兩種方式去折彎它。哪一種方式讓你感覺更費力？為什麼同樣的材料在旋轉 90 度後，抵抗變形的能力會產生如此巨大的差異呢？
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同學你好！非常專業的判斷，恭喜你精準地選出了正確答案。這題的核心在於理解斷面幾何形狀如何影響梁的抗彎能力。在材料與長度均相同的情境下，決定梁能承受最大彎矩（$M_{max}$）的關鍵指標在於「斷面係數」（Section Modulus, $S$），其關係式為 $M = \sigma \cdot S$。
幾何特徵與抗彎能力
對於矩形斷面而言，斷面係數的計算公式為 $S = \frac{bh^2}{6}$。從公式中我們可以觀察到一個決定性的細節：高度 $h$ 是以平方的形式貢獻，這意味著「高度」對於提升強度的效率遠高於「寬度」 $b$。經由具體計算，A 梁的 $S_A = \frac{8 \times 27^2}{6} = 972 \text{ cm}^3$，是四個選項中數值最大者，因此其承載彎矩的能力最強。
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