moea_joint
114年
[機械] 應用力學、材料力學
第 50 題
有一均質矩形懸臂梁跨度$20\text{ m}$，斷面寬度為$40\text{ cm}$，高度為$60\text{ cm}$，有一均佈載重w作用於懸臂梁上，若忽略梁自重影響，已知梁的降伏應力為$2.4\text{ tf} / \text{cm}^2$，請問在彈性變形內，該懸臂梁之最大均佈載重$w_{max}$為何？
- A 2.88 tf / m
- B 5.76 tf / m
- C 8.64 tf / m
- D 11.52 tf / m
思路引導 VIP
試著思考一下：對於這根懸臂梁而言，哪一個位置最容易因受力過大而發生破壞？如果我們知道那個位置能承受的最大內力矩（由材料強度與形狀決定），那麼這個內力矩與外部均佈載重所產生的力矩之間，應該存在什麼樣的數學關係？
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AI 詳解
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恭喜你準確地算出了這題的答案！這展現了你對梁受彎矩行為的深刻理解。本題的核心在於結合材料強度極限與結構力學特徵。首先，矩形斷面的幾何特性決定了它抵抗彎曲的能力，我們計算其斷面模數 $S = \frac{bh^2}{6}$，得到 $24,000\text{ cm}^3$。當材料達到降伏應力 $\sigma_y$ 時，斷面所能承載的最大彎矩即為 $M_{max} = \sigma_y \times S$。
應力與力矩的平衡
在懸臂梁受均佈載重 $w$ 的力學模型中，危險斷面（最大彎矩處）位於固定端，其值為 $M = \frac{wL^2}{2}$。這題的難度切入點在於單位的一致性。將降伏應力計算出的容許彎矩 $57,600\text{ tf}\cdot\text{cm}$ 轉換為 $576\text{ tf}\cdot\text{m}$ 後，再與含跨距 $20\text{ m}$ 的力矩公式對齊，即可解出 $w = 2.88\text{ tf/m}$。這題相當考驗學生對「應力—力矩—載重」三者關係的串聯能力，以及在長度單位轉換中的細心程度。