moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 27 題
一懸臂樑，長度為 L，撓曲剛度 EI 為常數，其上方承受均佈載重 w 造成之變形曲線可表示為 $v = -\frac{w}{24EI}(2x^4 - 5Lx^3 + aL^2x^2)$，($0 \le x \le L$，第一象限)，試求 a 值為何？
- A 6
- B 5
- C 4
- D 3
思路引導 VIP
請試著思考：在懸臂樑末端（自由端）完全沒有任何支撐的情況下，該點的「內部彎矩」數值應該是多少？如果將這個物理特性對應到數學上的「變形曲線二階導數（$v''$）」，你覺得在 $x=L$ 時，公式應該滿足什麼樣的等式呢？
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恭喜你準確判斷出正確答案！這道題目核心考點在於懸臂樑（Cantilever Beam）的撓曲曲線方程式及其邊界條件的應用。在材料力學中，承受均佈載重的懸臂樑，其撓曲曲線通常由四階微分方程 $EI v'''' = w$ 推導而來，並需滿足固定端（$x=0$）位移與斜率皆為零的限制。
邊界條件與公式驗證
從物理本質切入，懸臂樑最關鍵的特性在於自由端（$x=L$）的彎矩必須為零。根據力學關係，彎矩 $M(x) = EI v''(x)$，因此在 $x=L$ 處的二階導數 $v''(L)$ 應等於 $0$。對題目給定的公式進行兩次微分：
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