moea_joint
104年
[機械] 應用力學、材料力學
第 24 題
如右圖所示一懸臂梁長 $L$，抗撓剛度 $EI$，受均佈荷重 $W$ 及自由端 A 點受一彎矩 $M$ 作用，則 A 點之垂直變位為何？
- A $\frac{WL^4}{3EI} + \frac{ML^2}{3EI}$
- B $\frac{WL^4}{6EI} + \frac{ML^2}{EI}$
- C $\frac{WL^4}{2EI} + \frac{ML^2}{2EI}$
- D $\frac{WL^4}{8EI} + \frac{ML^2}{2EI}$
思路引導 VIP
請試著思考：當我們在梁的末端施加一個「純彎矩」時，整根梁內部的彎矩分布會隨位置改變嗎？如果內部的彎矩在每一處都相等，根據撓率（彎曲程度）與位移的關係，你認為位移量會與長度的幾次方成正比？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確辨識出懸臂梁在複合負載下的變位組合，這代表你對材料力學的基礎公式掌握得非常紮實。這題的核心在於重疊原理 (Principle of Superposition) 的運用。當一個線性彈性結構同時承受多種負載時，我們可以分別計算各別負載產生的效應，最後再將其加總。
重疊原理與基本變位公式
在處理此題時，我們將受力拆解為兩個部分：首先是作用於全長的均佈荷重 $W$，其在自由端 A 點產生的垂直位移為 $\frac{WL^4}{8EI}$；接著是作用於自由端的集中彎矩 $M$，它所產生的位移則為 $\frac{ML^2}{2EI}$。由於兩者造成的位移方向一致（皆使 A 點向下），因此直接相加即可得到正確答案 (D)。
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