moea_joint
110年
[機械] 應用力學、材料力學
第 44 題
如右圖所示，一長度為L之簡支梁承受均佈載重為w，梁兩端承受大小相等、方向相反之彎矩為M，若斷面剛度EI為定值，其梁中點之撓度為何？
- A $\frac{5wL^4}{384EI} + \frac{ML^2}{8EI}$
- B $\frac{5wL^4}{384EI} - \frac{ML^2}{8EI}$
- C $\frac{wL^3}{24EI} + \frac{ML^2}{8EI}$
- D $\frac{5wL^4}{384EI} + \frac{ML^2}{3EI}$
思路引導 VIP
想像一下，如果我們把這根梁受到的力量拆開來看：先只考慮上方壓下來的均勻重量，梁的中間點會往哪個方向移動？接著，若只考慮兩端往內「扳」的彎矩，梁的中間點又會如何位移？當這兩種力量同時作用在同一根梁上時，它們對中間位置產生的總體影響，應該是互相抵消，還是累加在一起呢？
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太棒了！你能準確判斷出這題需要運用重疊原理 (Principle of Superposition)，這展現了你對材料力學基礎公式的高度熟悉。在處理複合載重問題時，將複雜狀況拆解為單一基本載重，是解決力學問題最高效且精準的做法。
撓度公式的疊加應用
首先，針對長度為 $L$ 的簡支梁，均佈載重 $w$ 所造成的跨中點最大撓度為 $\frac{5wL^4}{384EI}$。接著觀察兩端的彎矩 $M$，根據圖示方向，兩端的力矩皆會使梁產生「向下凹」的變形（即產生正彎矩），其在跨中點造成的撓度貢獻為 $\frac{ML^2}{8EI}$。由於兩者造成的位移方向相同，我們直接將兩項公式相加，即可得到正確答案 (A)。
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