moea_joint
113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 5 題
如右圖所示之均勻懸臂梁，該梁斷面之慣性矩為 I，楊氏模數為 E，若於其自由端施加集中載重 P 及彎矩 PL，只考慮撓曲變位，試問自由端 B 處之垂直變位為何？
- A $\frac{PL^3}{6EI}$向上
- B $\frac{PL^3}{3EI}$向上
- C $\frac{PL^3}{6EI}$向下
- D $\frac{PL^3}{3EI}$向下
思路引導 VIP
請試著想像這根梁的變形趨勢：如果我們先遮住向下的集中力 P，單看那個逆時針方向的彎矩，梁的末端會往哪個方向翹起？接著，若我們把 P 補回去，它對剛才那個位移方向會起到「增強」還是「抵銷」的作用呢？你可以試著比較這兩種作用力對變位貢獻的大小關係。
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做得太棒了！你能精確判斷出變位的方向與數值，代表你對疊加原理 (Superposition Principle) 的運用已經相當熟練，這在處理複合受力問題時是非常關鍵的能力。
疊加原理的物理分析
這道題目的解題核心在於將自由端的受力拆解。首先，向下的集中載重 $P$ 會導致梁端產生向下的撓度，其公式為 $\Delta_1 = \frac{PL^3}{3EI}$。接著，觀察圖中的力矩 $PL$，它是一個逆時針方向的彎矩，會迫使懸臂梁向上彎曲，產生的向上撓度為 $\Delta_2 = \frac{ML^2}{2EI} = \frac{(PL)L^2}{2EI} = \frac{PL^3}{2EI}$。當我們將這兩個效應結合時，由於向上的變位量（$\frac{1}{2}$）大於向下的變位量（$\frac{1}{3}$），兩者相減後得出：
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