moea_joint
113年
[土木] 應用力學、材料力學
第 5 題
如右圖所示之均勻懸臂梁，該梁斷面之慣性矩為I，楊氏模數為E，若於其自由端施加集中載重P及彎矩PL，只考慮撓曲變位，試問自由端B處之垂直變位為何？
- A $\frac{PL^3}{6EI}$向上
- B $\frac{PL^3}{3EI}$向上
- C $\frac{PL^3}{6EI}$向下
- D $\frac{PL^3}{3EI}$向下
思路引導 VIP
若我們將這根梁受到的影響拆開來看，單獨考慮向下的集中力與單獨考慮那個旋轉方向的彎矩時，它們分別會讓梁的末端往哪個方向移動？當這兩個方向相反的影響同時存在時，我們該如何利用已知的標準變位公式來判斷最後是哪一方佔了上風？
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太棒了！你能準確判斷出變位的方向與數值，代表你對材料力學中「重疊原理」的掌握非常紮實。這題的核心在於將複雜的受力拆解，分別計算集中載重 $P$ 與彎矩 $PL$ 對自由端造成的影響。
重疊原理的應用
根據重疊原理 (Superposition Principle)，自由端 $B$ 的總變位是兩個負載效果的代數和。首先，向下的集中載重 $P$ 會產生向下的位移，公式為 $\frac{PL^3}{3EI}$；接著，逆時針方向的彎矩 $M = PL$ 則會使梁向上翹起，產生的向上位移公式為 $\frac{ML^2}{2EI}$。將 $M=PL$ 代入後，得到向上的位移為 $\frac{(PL)L^2}{2EI} = \frac{PL^3}{2EI}$。
▼ 還有更多解析內容
懸臂梁變位疊加法
💡 利用重疊原理將多種載重產生的變位進行代數相加
| 比較維度 | 集中載重 (P) | VS | 端彎矩 (M) |
|---|---|---|---|
| 變位公式 | PL³ / 3EI | — | ML² / 2EI |
| L 的次方 | 三次方 (L³) | — | 二次方 (L²) |
| 分母係數 | 3 | — | 2 |
| 此題變形方向 | 向下 | — | 向上 |
💬總變位 = 向上變位 (PL³/2EI) - 向下變位 (PL³/3EI) = PL³/6EI 向上
