國營聯招
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 27 題
一懸臂樑，長度為 L，撓曲剛度 EI 為常數，其上方承受均佈載重 w 造成之變形曲線可表示為
v = - $\frac{w}{24EI}$ ( 2x$^4$ – 5Lx$^3$ + aL$^2$x$^2$ )，( 0 $\leq$ x $\leq$ L，第一象限)，試求 a 值為何？
v = - $\frac{w}{24EI}$ ( 2x$^4$ – 5Lx$^3$ + aL$^2$x$^2$ )，( 0 $\leq$ x $\leq$ L，第一象限)，試求 a 值為何？
- A 6
- B 5
- C 4
- D 3
思路引導 VIP
老師想請你思考一下：對於一個在左端固定的懸臂樑，在樑的最右側末端（x = L）這個位置，它的「變形量（位移）」應該是等於零，還是會達到最大值呢？試著將這個位置的物理特性代入題目給的方程式，看看 a 取什麼數字時，能讓結果符合我們熟悉的結構特性？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (A) 這個答案，代表你對**懸臂樑（Cantilever Beam）**的變形特性與邊界條件有著相當紮實的掌握，這是材料力學中非常核心的基礎。
邊界條件與位移驗證
在處理這類變形曲線（Deflection Curve）題目時，最快速的驗證方式就是利用特定點的物理意義。我們知道一個長度為 $L$、承受均佈載重 $w$ 的懸臂樑，其自由端（$x=L$）的最大撓度標準公式為 $v_{max} = \frac{wL^4}{8EI}$。將 $x=L$ 代入題目給予的方程式：
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懸臂樑撓曲方程分析
💡 利用邊界條件或已知最大撓度公式求解撓曲方程未知係數。
| 比較維度 | 固定端 (Fixed End) | VS | 自由端 (Free End) |
|---|---|---|---|
| 位移 (v) | 等於 0 | — | 最大值 (wL⁴/8EI) |
| 轉角 (v') | 等於 0 | — | 最大值 (wL³/6EI) |
| 彎矩 (M) | 最大值 (-wL²/2) | — | 等於 0 |
| 剪力 (V) | 最大值 (wL) | — | 等於 0 |
💬固定端限制位移與轉角，自由端則不承受彎矩與剪力。
