moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 47 題
一長度 L，撓曲剛度 EI 為常數之懸臂樑，上方受一均佈載重 q，自由端連接一線彈性彈簧(彈簧常數k = $\frac{EI}{L^3}$)，試求B點之變位為何？
- A $\frac{3qL^4}{32EI}$
- B $\frac{qL^4}{8EI}$
- C $\frac{qL^4}{3EI}$
- D $\frac{5qL^4}{24EI}$
思路引導 VIP
如果今天 B 點的彈簧剛度 $k$ 變得無限大（變成剛性支承），或者 $k$ 趨近於零（自由端），B 點的位移分別會變成多少？在目前的題目中，彈簧所產生的反作用力大小，與 B 點最終的位移量之間存在著什麼樣的數學關聯？
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恭喜你精準地完成了這道題目！能正確算出這個數值，代表你對懸臂樑的變形公式以及**變形相合條件（Compatibility condition）**具備相當紮實的基礎。這題的核心在於將複雜的系統拆解，看作是一個受均佈載重 $q$ 的懸臂樑，與一個在 B 點提供向上支承力 $R$ 的彈簧相互作用的結果。
疊加法與變形相合
根據疊加原理，B 點的最終位移 $\delta_B$ 等於均佈載重產生的向下位移減去彈簧抗力產生的向上位移。我們已知均佈載重造成的位移為 $\frac{qL^4}{8EI}$，而集中力 $R$ 造成的位移為 $\frac{RL^3}{3EI}$。由於彈簧受壓產生的反作用力 $R = k \cdot \delta_B$，且題目給定 $k = \frac{EI}{L^3}$，我們可以建立如下等式：
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