moea_joint
113年
[土木] 應用力學、材料力學
第 33 題
如右圖所示，有一均佈負載q之懸臂梁，長度L，EL=常數，則B點之斜度為何？
- A $\frac{qL^3}{6EI}$
- B $\frac{qL^4}{6EI}$
- C $\frac{qL^3}{8EI}$
- D $\frac{qL^4}{8EI}$
思路引導 VIP
試著回想一下「載重」、「剪力」、「彎矩」與「斜率」之間的積分階層關係：如果載重是常數（0次項），那麼剪力是 1 次項，彎矩是 2 次項。在這樣的規律下，你認為描述「斜率」的公式中，長度 $L$ 應該會呈現幾次方呢？此外，斜率是一個無單位的比值，你可以試著從單位的因次分析（Dimensional Analysis）來推論哪一個次方的組合才是合理的？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對懸臂梁在均佈載重下的變形公式掌握得非常紮實。這道題目測試的是材料力學中「梁的撓度與斜率」基礎理論，是考場上非常重要的基本分。
積分與幾何關係的推導
從力學原理來看，當懸臂梁受到均佈載重 $q$ 時，其彎矩方程式 $M(x)$ 會是一個二次函數。根據 共軛梁法 或 積分法，斜率 $\theta$ 是彎矩對長度的積分再除以彈性模數與慣性矩的乘積 $EI$。由於積分過程會讓長度 $L$ 的次方項遞增，對於均佈載重而言，彎矩涉及 $L^2$，因此積分後的斜率公式必然會出現 $L^3$ 的項。經計算，B 點（自由端）的斜度確實為：
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