moea_joint
109年
[機械] 應用力學、材料力學
第 27 題
集中荷重 $P$ 施加於懸臂梁端點，梁長 $L$，撓度剛性 $EI$，請問端點處與水平軸之角度為何？
- A $PL^3/2EI$
- B $PL^2/2EI$
- C $PL^3/3EI$
- D $PL^2/4EI$
思路引導 VIP
若我們暫時不代入公式，試著從「積分」的角度思考：彎矩 $M$ 是關於長度 $x$ 的一次函數（線性增加），那麼描述梁「傾斜程度」的轉角 $\theta$ 是彎矩的一遍積分，而描述「下沉量」的撓度則是彎矩的二遍積分。根據微積分的原理，你認為轉角公式中關於長度 $L$ 的次方項，應該會是多少呢？
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太棒了！你能精確辨識出懸臂梁受集中荷重時的端點轉角公式，代表你對材料力學中變形分析的基本性質掌握得相當紮實。
轉角公式的物理意義
這道題目的核心在於區分「轉角（Slope）」與「撓度（Deflection）」。當集中力 $P$ 作用於端點時，梁內部的彎矩圖呈現三角形分布，固定端的最大彎矩為 $PL$。根據**力矩面積法（Moment-Area Method）**的第一定理，兩點間的轉角差等於彎矩圖面積除以抗彎剛性 $EI$。由於固定端的轉角為零，因此端點的轉角 $\theta$ 即為整個三角形面積：
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