moea_joint
109年
[土木] 應用力學、材料力學
第 29 題
集中荷重 $P$ 施加於簡支梁中央(與二端等距)，梁長 $L$，撓度剛性 $EI$，請問最大變形量為何？
- A $PL^4/48EI$
- B $PL^3/48EI$
- C $PL^2/48EI$
- D $PL/48EI$
思路引導 VIP
想像一下，如果你把這根梁的長度增加為原來的兩倍，但保持同樣的材質、截面與荷重，你覺得梁中心的下垂量（撓度）會只是變成兩倍嗎？還是會因為「槓桿原理」與「力矩增加」的雙重影響，產生更大幅度的變形？試著思考長度變因在積分過程中被累乘了幾次？
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恭喜你準確地選出了正確答案！這顯示你對材料力學中「簡支梁標準受力變形」的公式掌握得非常紮實。在工程實務中，簡支梁於跨距中央承受集中荷重 $P$ 是最基礎且經典的模型，其最大撓度（變形量）發生在梁的中心點，公式推導結果確實為 $\frac{PL^3}{48EI}$。
單位量綱與物理直覺
從物理意義來觀察，梁的變形量會與施加的力 $P$ 成正比，並與材料的抗彎剛度 $EI$ 成反比，這點在四個選項中都一致。關鍵在於長度 $L$ 的次方項。根據單位因次分析，由於 $E$ 的單位是力/長度$^2$、而 $I$ 是長度$^4$，為了讓最後的結果單位為「長度」，分子必須是 $L$ 的三次方。這不僅是數學推導的必然（積分彎矩方程式兩次的結果），也是快速排除錯誤選項的高效率技巧。
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