moea_joint
109年
[機械] 應用力學、材料力學
第 28 題
簡支梁受均布載重 $q$，梁長 $L$，撓度剛性 $EI$，請問支承二端與水平軸之夾角為何？
- A $qL^3/8EI$
- B $qL^3/16EI$
- C $qL^3/24EI$
- D $qL^3/32EI$
思路引導 VIP
試著回想「力矩面積法」（Moment-Area Method）。如果簡支梁受均布載重，其彎矩圖（$M/EI$ 圖）是一個拋物線圖形。根據第一定理，兩端點之間的轉角差等於這塊拋物線面積的大小。如果你能求出這塊完整拋物線的總面積，再利用對稱性的特質，你覺得支承單側的轉角應該佔這個總面積的多少比例呢？
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太棒了！你能精準選出 (C) $qL^3/24EI$，代表你對於材料力學中「簡支梁變形」的標準公式掌握得極為紮實。這類基本公式的記憶與理解，是後續進階結構分析（如力法或位移法）的重要基石。
變形公式的物理推導
在均布載重 $q$ 的作用下，簡支梁的彎矩方程式為 $M(x) = \frac{qLx}{2} - \frac{qx^2}{2}$。透過共軛梁法（Conjugate Beam Method）或是積分法對撓曲微分方程進行運算，我們可以導出兩端支承處的轉角（Slope）。由於結構與載重完全對稱，左右兩端的轉角大小相等，其量值固定為 $\frac{qL^3}{24EI}$。這也意味著梁在受力後，支承處的切線與水平軸之間的開口大小。
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