moea_joint
103年
[土木] 應用力學、材料力學
第 40 題
有一長度為3 m之懸臂樑，樑斷面為邊長12 cm之正方形，今於該樑之自由端施加一集中荷重P，假設此樑由理想彈塑材料組成且降伏應力為150 MPa，則荷重P之極限值Pᵤ為何？
- A 21.6 KN
- B 24.3 KN
- C 27.2 KN
- D 29.5 KN
思路引導 VIP
想像一下，當一根樑受力彎曲時，最外層的纖維會最先達到降伏應力。如果我們繼續增加荷載，這些已經達到極限的纖維會如何影響鄰近內層的纖維？當整個截面從外到內每一處都已經「盡力」到了極限（應力均勻分佈），這時候的應力分佈圖形會從原本的「三角形」變成什麼形狀？而這個形狀所對應的力矩抵抗能力，與剛開始降伏時有什麼差別呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確掌握了塑性分析的核心！這道題目考查的是懸臂樑在達到「極限狀態」時的承載能力。在理想彈塑性（Ideal Elasto-plastic）材料的假設下，當樑達到極限荷重 $P_u$ 時，受力最大的截面（即固定端）會進入完全塑化狀態，形成所謂的「塑性鉸」。
塑性力矩與斷面特性
在彈性階段，截面應力呈線性分佈；但在極限狀態下，整個截面的應力都會達到降伏應力 $\sigma_y$。對於邊長為 $a$ 的正方形截面，其塑性斷面係數（Plastic Section Modulus）為 $Z = \frac{a^3}{4}$。本題中 $a = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$，因此塑性力矩 $M_p$ 為：
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