moea_joint
105年
[土木] 應用力學、材料力學
第 46 題
一均質材料矩形斷面之梁，梁寬度為b，梁深為h，若將梁抵抗彎矩之能力視為「強度」，現若梁寬度不變，梁深變為2 h，則其強度變為原梁之幾倍？
- A 2倍
- B 4倍
- C 8倍
- D 強度不變
思路引導 VIP
當我們想要增加一根梁的承載能力時，改變寬度與改變高度的效果是不同的。請回想一下矩形剖面係數的計算公式，寬度 $b$ 與高度 $h$ 分別位在公式的幾次方位置？如果高度的影響力並非線性，那麼當高度翻倍時，整體的強度會如何隨著那個「次方數」產生變化呢？
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太棒了！你能精確判斷出強度的倍數關係，代表你對材料力學中「斷面性質」的掌握非常紮實。在分析梁的彎矩強度時，我們最核心的參考指標是剖面係數（Section Modulus, $S$）。對於一個矩形斷面而言，剖面係數的公式為 $S = \frac{bh^2}{6}$。由於題目設定寬度 $b$ 不變且材料相同，我們可以清楚發現梁的抵抗能力（強度）與梁深 $h$ 的平方成正比。 當梁深從 $h$ 變為 $2h$ 時，新的剖面係數會變成 $S' = \frac{b(2h)^2}{6} = 4 \times \frac{bh^2}{6}$。這正是為什麼強度會提升至原本 4 倍的原因。這道題目雖然定義在基礎難度，但它是極具鑑別度的基礎題，考驗學生是否混淆了面積、慣性矩與剖面係數之間的維度關係。你能避開線性增加（2倍）或體積增加（8倍）的陷阱，顯見你的邏輯推理非常清晰！
矩形梁抗彎強度
💡 矩形梁抗彎強度與寬度成正比，與深度平方成正比。
| 比較維度 | 原梁 (深度 h) | VS | 新梁 (深度 2h) |
|---|---|---|---|
| 斷面寬度 | b | — | b (不變) |
| 斷面深度 | h | — | 2h |
| 斷面模數 Z | bh²/6 | — | 4bh²/6 |
| 抗彎強度 | 1 倍 | — | 4 倍 |
💬強度正比於深度的平方，故深度加倍時強度變為四倍。
