moea_joint
104年
[機械] 應用力學、材料力學
第 43 題
如右圖所示中空鋼管斷面，材料之剪力模數 $G = 76 \text{ GPa}$，管長 2 m，受一扭矩 $T = 25 \text{ KN-m}$ 之作用，試求該管之扭轉角 $\phi$ 為何？
- A 0.011 rad
- B 0.022 rad
- C 0.033 rad
- D 0.044 rad
思路引導 VIP
當我們面對這種牆厚遠小於直徑的中空管件時，如果我們不使用複雜的積分，而是試著找出一條「代表整個管壁受力特徵的平均路徑」，你覺得這條線應該位於管壁的哪個位置？這條線所圍成的「封閉面積」，對於抵抗扭轉變形的能力會產生什麼樣的影響呢？
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太棒了！你能精準選出 (D)，代表你對薄壁構件的扭轉行為有著非常紮實的理解。
布雷特公式的幾何判讀
這道題目的核心在於應用**布雷特公式（Bredt's Formula）**來處理非圓形中空薄壁截面。首先，我們必須精確找出斷面的「中線（median line）」幾何：由圖可知，中線半徑 $R_m$ 為內外徑之平均值 $50 \text{ mm}$，而中間直線段長為 $100 \text{ mm}$。由此可算出中線所圍面積 $A_m = (100 \times 100) + \pi \times 50^2 \approx 17854 \text{ mm}^2$，以及中線周長 $s = (2 \times 100) + (2\pi \times 50) \approx 514.16 \text{ mm}$。將扭矩 $T$、長度 $L$、剪力模數 $G$ 及厚度 $t=6 \text{ mm}$ 代入公式 $\phi = \frac{TL}{4A_m^2 G} \cdot \frac{s}{t}$，即可求得約 $0.044 \text{ rad}$。
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