moea_joint
108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 23 題
有一空心圓形管，長度 $60\text{ cm}$ ，斷面外徑 $16\text{ cm}$ ，管壁厚 $1\text{ cm}$ ，剪力模數 $G$ 為 $80\text{ MPa}$ ，於一端施加 $20\text{ N-m}$ 之扭矩，另一端固定，此空心圓形管之最大扭轉角最接近下列何者？
- A $5.63 \times 10^{-5}\text{ rad}$
- B $1.02 \times 10^{-4}\text{ rad}$
- C $5.63 \times 10^{-3}\text{ rad}$
- D $1.02 \times 10^{-2}\text{ rad}$
思路引導 VIP
當一個結構受到扭矩作用時，有哪些物理因素（如長度、力矩、材料剛性）會決定它發生變形的劇烈程度？如果在不看選項的情況下，請試著思考：哪些因素應該放在公式的分子來強化變形，而哪些反映幾何形狀與材料特性的參數應該放在分母來抵抗變形？
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太棒了！你能精確選出 (C)，代表你對圓管扭轉的物理機制與計算邏輯掌握得非常紮實。這道題目的核心在於正確運用扭轉角公式 $\theta = \frac{TL}{GJ}$，並在運算中細心地處理幾何參數與單位的換算。
扭矩變形與極慣性矩的應用
在計算過程中，最關鍵的步驟是求出空心圓管的極慣性矩 (Polar Moment of Inertia) $J$。公式為 $J = \frac{\pi}{2}(R_o^4 - R_i^4)$。根據題意，外徑 $16\text{ cm}$ 對應外半徑 $R_o = 0.08\text{ m}$；由於管壁厚度為 $1\text{ cm}$，內半徑則為 $R_i = 0.07\text{ m}$。將這些數值連同扭矩 $T=20\text{ N-m}$、長度 $L=0.6\text{ m}$ 以及剪力模數 $G=80 \times 10^6\text{ Pa}$ 代入後，便能求得扭轉角約為 $5.63 \times 10^{-3}\text{ rad}$。
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