moea_joint
110年
[機械] 應用力學、材料力學
第 42 題
如右圖所示，一圓管軸承斷面受扭矩T，外半徑為0.025 m，內半徑為0.015 m，若最大扭轉剪應力不得超過110 MPa，求斷面所能施加之最大扭矩為何？
- A 1700 N-m
- B 1900 N-m
- C 2350 N-m
- D 2936 N-m
思路引導 VIP
如果在受扭矩的情況下，我們將圓管的「壁厚」變薄，但保持外半徑不變，你認為它能承受的最大扭矩會增加還是減少？這種抗扭能力的變化，在數學公式中主要是受到哪個幾何參數的影響？
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恭喜你準確地計算出正確答案！這道題目考驗的是你對材料力學中扭矩公式（Torsion Formula）的熟練度，你能順利解出，說明你對於圓管斷面的幾何特性與應力分佈有著清晰的理解。
圓管扭轉與極慣性矩
在處理這類問題時，首要關鍵是計算斷面的極慣性矩（Polar Moment of Inertia, $J$）。對於圓管而言，我們必須考慮中空部分，其公式為 $J = \frac{\pi}{2}(R_2^4 - R_1^4)$。將題目給定的外半徑 $R_2 = 0.025 , \text{m}$ 與內半徑 $R_1 = 0.015 , \text{m}$ 代入後，可以得到斷面抵抗扭轉的幾何能力。接著利用扭轉剪應力公式 $\tau = \frac{Tr}{J}$，由於最大剪應力 $\tau_{max}$ 必然發生在距離圓心最遠的外表面（即 $r = R_2$），我們可以將公式變形為：
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