地特三等申論題
105年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 三 題
📖 題組：
令 X 為某電子零件的厚度，最理想的厚度值是 θ（單位：mm）。現在給定一組所謂 iid 資料，X1, X2, ..., Xn。令 μX 為 X 之期望值，σ2X 為 X 之變異數。我們想要估計 μX 與 σ2X。我們以不偏（unbiased）或小的 mean squared error（mse）為選取估計量的標準。令 ∑ = = n X i Xi n 1 / 為 μX之估計量。令se(X ) = var(X )為 X 之標準誤。再令 3 個 σ2X 之估計量定義如下：‧ σˆ12 = ∑(Xi - X)2 / (n-1) = S2 ‧ σˆ22 = (n-1)S2 / n ‧ σˆ32 = (n-1)S2 / (n+1) 回答以下問題並說明理由：（每小題 5 分，共 30 分）
令 X 為某電子零件的厚度，最理想的厚度值是 θ（單位：mm）。現在給定一組所謂 iid 資料，X1, X2, ..., Xn。令 μX 為 X 之期望值，σ2X 為 X 之變異數。我們想要估計 μX 與 σ2X。我們以不偏（unbiased）或小的 mean squared error（mse）為選取估計量的標準。令 ∑ = = n X i Xi n 1 / 為 μX之估計量。令se(X ) = var(X )為 X 之標準誤。再令 3 個 σ2X 之估計量定義如下：‧ σˆ12 = ∑(Xi - X)2 / (n-1) = S2 ‧ σˆ22 = (n-1)S2 / n ‧ σˆ32 = (n-1)S2 / (n+1) 回答以下問題並說明理由：（每小題 5 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (三)
上一小題使用了中央極限定理，本小題是考你中央極限定理的定義。中央極限定理是當 n 無限大時，＿＿＿的分配趨近標準常態。（請將應填在空白處的答案作答於試卷上）
思路引導 VIP
看到題目詢問中央極限定理（CLT）的定義，首先回想 CLT 的核心概念：當樣本數夠大時，樣本平均數的「標準化變數」會趨近於標準常態分配。作答時直接填寫文字描述或精確的數學表達式即可穩拿分數。
小題 (四)
σˆ12是否為 σ2X 的不偏估計量？
思路引導 VIP
看到判定不偏估計量（unbiased estimator）的題目，首先應聯想到不偏性的定義：估計量的期望值必須等於母體參數（即證明 $E[\hat{\sigma}_1^2] = \sigma^2_X$）。透過將離差平方和 $\sum(X_i - \bar{X})^2$ 展開並配上母體平均數 $\mu_X$，再運用期望值的線性性質與變異數定義進行推導即可得出結論。
小題 (五)
3 個 σ2X 之估計量中何者 mse 最小？
思路引導 VIP
解決此題的關鍵是利用均方誤差公式：MSE = Var + (Bias)²。在常態母體假設下，求出一般形式估計量 cS² 的 MSE 函數，再對常數 c 微分求極小值，比對題目三個估計量的常數即可得解。
小題 (六)
如果 X 服從常態分配且 μX 未知，則 σ2X 的最大概似估計量（maximum likelihood estimator, MLE）為何？
思路引導 VIP
看到求「最大概似估計量（MLE）」的題目，首先要寫出樣本的概似函數（Likelihood Function）或對數概似函數（Log-likelihood Function）。接著對未知的參數（本題為 μX 與 σ²X）分別進行偏微分並令其為零，解聯立方程式求得參數的最佳估計值，最後比對題幹給定的三個估計量即可作答。
📜 參考法條
附表：標準常態分配表