地特三等申論題 105年 [水利工程] 流體力學

第一題

📖 題組：
給定流場之速度向量分布，如 V = (4x)i + (3t²)j，請問： (一)此流場是否為穩態（steady）？（3 分） (二)在時間 t=1 秒，一粒子位置在(1 m, 4 m)，試求 t > 1 秒時，此粒子之徑線（pathline）函數為何？（17 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

此流場是否為穩態（steady）？（3 分）

判斷流場是否為穩態（steady），核心在於檢查流場變數（此處為速度向量）是否隨時間改變。只需將給定的速度方程式對時間 $t$ 取偏微分，若結果不為零，即代表速度會隨時間變化，為非穩態流場（unsteady flow）。

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【解題思路】根據穩態流場定義，檢驗速度向量對時間的偏微分是否為零。【詳解】已知：流場速度向量 $\mathbf{V} = 4x\mathbf{i} + 3t^2\mathbf{j}$

在時間 t=1 秒，一粒子位置在(1 m, 4 m)，試求 t > 1 秒時，此粒子之徑線（pathline）函數為何？（17 分）

求徑線（pathline）需利用流體質點的運動學定義：速度為位移對時間的微分（u=dx/dt, v=dy/dt）。將速度分量分別積分求得隨時間變化的位置 x(t) 與 y(t)，代入初始條件解出積分常數後，再消去時間參數 t 即可得到徑線的空間函數方程式。

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【解題思路】利用運動學定義 $u=\frac{dx}{dt}$ 與 $v=\frac{dy}{dt}$，解常微分方程求出位置函數後消去時間參數 $t$。【詳解】已知：