普考申論題
105年
[天文] 微積分
第 二 題
📖 題組：
計算下列積分：
計算下列積分：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
∫_0^π ∫_0^{sin x} (1 + cos x) dy dx。(15 分)
思路引導 VIP
處理這類逐次積分（Iterated Integral）時，應秉持「由內而外」的計算原則。先將被積函數對變數 y 進行積分（此時將 x 相關項視為常數），代入上下限後化簡。接著再對外層的 x 進行定積分，過程中可利用積分線性性質拆項，並輔以基本的三角函數積分公式及變數代換法（或倍角公式）即可精確求解。
小題 (一)
∫ (5x^2 + 20x + 6) / (x^3 + 2x^2 + x) dx。(15 分)
思路引導 VIP
觀察被積函數為分子次數小於分母次數的「真有理分式」，這類題型的標準解法是先將分母徹底因式分解。接著使用「部分分式展開法」將複雜分式化簡為基本有理函數的組合，最後逐項套用對數與冪次的基本積分公式即可得分。