高考申論題
105年
[化學工程] 物理化學(包括化工熱力學)
第 一 題
📖 題組：
假設氮氣 N2 符合凡德瓦爾氣體方程式，凡德瓦爾係數 a = 1.37×10⁻⁶ bar m⁶ mol⁻²，b = 3.87×10⁻⁵ m³ mol⁻¹。已知 πT ≡ (∂U / ∂V)T = T (∂p / ∂T)V - p (一) 證明 πT = a/Vm²，Vm 為莫耳體積。（10 分） (二) 藉由內能的定義 dU = CV dT + πT dV，溫度 25℃，有 3 莫耳氮氣，進行等溫膨脹，最初體積 0.06 m³，最後體積為 1.50 m³，計算 ΔU，以公制單位 J 表示。（10 分）
假設氮氣 N2 符合凡德瓦爾氣體方程式，凡德瓦爾係數 a = 1.37×10⁻⁶ bar m⁶ mol⁻²，b = 3.87×10⁻⁵ m³ mol⁻¹。已知 πT ≡ (∂U / ∂V)T = T (∂p / ∂T)V - p (一) 證明 πT = a/Vm²，Vm 為莫耳體積。（10 分） (二) 藉由內能的定義 dU = CV dT + πT dV，溫度 25℃，有 3 莫耳氮氣，進行等溫膨脹，最初體積 0.06 m³，最後體積為 1.50 m³，計算 ΔU，以公制單位 J 表示。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
證明 πT = a/Vm²，Vm 為莫耳體積。
思路引導 VIP
本題測驗熱力學狀態方程式與真實氣體方程式的結合。解題關鍵在於寫出凡德瓦爾氣體方程式的壓力表示式，求得其對溫度的偏微分後，代入題幹給定的內部壓力（Internal pressure, πT）定義式中進行代數化簡即可得證。
小題 (二)
藉由內能的定義 dU = CV dT + πT dV，溫度 25℃，有 3 莫耳氮氣，進行等溫膨脹，最初體積 0.06 m³，最後體積為 1.50 m³，計算 ΔU，以公制單位 J 表示。
思路引導 VIP
看到「等溫過程」，立即想到 dT=0，因此內能變化方程式可簡化為僅受體積影響，即 dU = πT dV。接著代入第一小題證明的凡德瓦爾氣體內壓 πT = a/Vm² = n²a/V² 進行體積積分。最後務必特別注意單位換算，將常數 a 的壓力單位 bar 轉換為 Pa (即 J/m³)，才能計算出以公制焦耳 (J) 為單位的正確答案。
凡德瓦爾氣體內能推導
💡 結合凡氏方程與熱力學基本定義，推導內部壓力並計算內能變化。
🔗 凡德瓦爾氣體內能證明與計算流程
- 1 狀態方程整理 — 將凡氏方程改寫為 P = f(T, Vm) 形式
- 2 執行偏微分 — 於定容下計算 (∂P/∂T)V，得到 R/(Vm-b)
- 3 代入定義式 — 將微分項代入熱力學狀態方程消去 T 項
- 4 內能積分 — 對內部壓力 πT = a/Vm² 進行體積積分求 ΔU
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步探討非理想氣體的焓變化 (ΔH) 推導。
