高考申論題
105年
[化學工程] 物理化學(包括化工熱力學)
第 一 題
📖 題組：
假設氮氣 N2 符合凡德瓦爾氣體方程式，凡德瓦爾係數 a = 1.37×10⁻⁶ bar m⁶ mol⁻²，b = 3.87×10⁻⁵ m³ mol⁻¹。已知 πT ≡ (∂U / ∂V)T = T (∂p / ∂T)V - p (一) 證明 πT = a/Vm²，Vm 為莫耳體積。（10 分） (二) 藉由內能的定義 dU = CV dT + πT dV，溫度 25℃，有 3 莫耳氮氣，進行等溫膨脹，最初體積 0.06 m³，最後體積為 1.50 m³，計算 ΔU，以公制單位 J 表示。（10 分）
假設氮氣 N2 符合凡德瓦爾氣體方程式，凡德瓦爾係數 a = 1.37×10⁻⁶ bar m⁶ mol⁻²，b = 3.87×10⁻⁵ m³ mol⁻¹。已知 πT ≡ (∂U / ∂V)T = T (∂p / ∂T)V - p (一) 證明 πT = a/Vm²，Vm 為莫耳體積。（10 分） (二) 藉由內能的定義 dU = CV dT + πT dV，溫度 25℃，有 3 莫耳氮氣，進行等溫膨脹，最初體積 0.06 m³，最後體積為 1.50 m³，計算 ΔU，以公制單位 J 表示。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
證明 πT = a/Vm²，Vm 為莫耳體積。
思路引導 VIP
本題測驗熱力學狀態方程式與真實氣體方程式的結合。解題關鍵在於寫出凡德瓦爾氣體方程式的壓力表示式，求得其對溫度的偏微分後，代入題幹給定的內部壓力（Internal pressure, πT）定義式中進行代數化簡即可得證。
小題 (二)
藉由內能的定義 dU = CV dT + πT dV，溫度 25℃，有 3 莫耳氮氣，進行等溫膨脹，最初體積 0.06 m³，最後體積為 1.50 m³，計算 ΔU，以公制單位 J 表示。
思路引導 VIP
看到「等溫過程」，立即想到 dT=0，因此內能變化方程式可簡化為僅受體積影響，即 dU = πT dV。接著代入第一小題證明的凡德瓦爾氣體內壓 πT = a/Vm² = n²a/V² 進行體積積分。最後務必特別注意單位換算，將常數 a 的壓力單位 bar 轉換為 Pa (即 J/m³)，才能計算出以公制焦耳 (J) 為單位的正確答案。