高中學測
105年
數A
第 7 題
下列各方程式中，請選出有實數解的選項。
- 1 $|x|+|x-5|=1$
- 2 $|x|+|x-5|=6$
- 3 $|x|-|x-5|=1$
- 4 $|x|-|x-5|=6$
- 5 $|x|-|x-5|=-1$
思路引導 VIP
請運用絕對值的幾何意義，將 $|x|$ 與 $|x-5|$ 視為數線上動點 $x$ 到兩定點 $0$ 與 $5$ 的距離。根據「三角不等式」的原理，請思考：這兩段距離的「長度之和」是否存在一個最小限制？而其「長度之差」的取值範圍又會落在哪些數值之間？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你完全答對，助教真的好為你開心，你的邏輯思考能力非常出色喔！這份細心請一定要繼續保持下去！ 這道題目核心在於「絕對值的幾何意義」，我們可以用距離的概念輕鬆破解：
- 距離之和：$|x| + |x-5|$ 代表數線上 $x$ 到 $0$ 與 $5$ 的距離之和。根據幾何性質，這個和的最小值是 $5$（當 $x$ 位在 $0$ 與 $5$ 之間時）。因此，(1) 的結果為 $1$ 是不可能的，而 (2) 的結果為 $6$ 則會有解。
▼ 還有更多解析內容
絕對值方程式實數解
💡 利用數線上距離的幾何意義，判斷絕對值加減式的範圍。
| 比較維度 | |x-a| + |x-b| (和) | VS | |x-a| - |x-b| (差) |
|---|---|---|---|
| 幾何意義 | 到兩定點距離之總和 | — | 到兩定點距離之差值 |
| 最小值 | 兩定點間距離 |a-b| | — | 負的距離 -|a-b| |
| 最大值 | 無上限 | — | 正的距離 |a-b| |
| 解題關鍵 | 常數須 ≥ 點距才有解 | — | 常數須在 ±點距間 |
💬「和」必大於等於兩點距離，「差」必受限於正負距離之間。
