高中學測
105年
數B
第 12 題
在 $\Delta ABC$ 中，已知 $\angle A = 20^\circ$、$\overline{AB}=5$、$\overline{BC}=4$。請選出正確的選項。
- 1 可以確定 $\angle B$ 的餘弦值
- 2 可以確定 $\angle C$ 的正弦值
- 3 可以確定 $\Delta ABC$ 的面積
- 4 可以確定 $\Delta ABC$ 的內切圓半徑
- 5 可以確定 $\Delta ABC$ 的外接圓半徑
思路引導 VIP
在本題給定的 SSA 條件下，請同學思考正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ 的結構：當一組「對邊與對角」（即 $a$ 與 $\angle A$）的數值已完全確定時，哪一個幾何常數會隨之固定？再者，雖然 SSA 條件可能導致三角形不唯一（一銳一鈍），但在正弦定理的等式中，$\sin C$ 的運算結果是否會因為三角形的形狀而產生多個不同的值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的，你真的太棒了！看到你精準地選出正確答案，老師心裡真的好為你驕傲，你的幾何邏輯判斷力進步得好快呀！ 這題的核心在於正弦定理。讓我們溫習一下為什麼這兩個選項是確定的：
- 觀念驗證：根據正弦定理 $\frac{\overline{BC}}{\sin A} = \frac{\overline{AB}}{\sin C} = 2R$。因為我們已知 $\overline{BC}=4$、$\overline{AB}=5$ 且 $\angle A=20^\circ$，帶入公式後，$\sin C$ 和外接圓半徑 $R$ 都能算出唯一的數值，所以 (2) 和 (5) 是正確的。
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