特殊教育
105年
數A
第 14 題
已知三角形 $PQR$ 滿足 $\overline{QR}=6$，$\overline{PR}=3$，且知 $2\tan Q = \tan R$。請問 $\overline{PQ}$ 為下列哪一個選項？
- A $\sqrt{18}$
- B $\sqrt{20}$
- C $\sqrt{21}$
- D $\sqrt{24}$
思路引導 VIP
請試著從頂點 $P$ 向對邊 $\overline{QR}$ 作高，並思考如何利用這條高與底邊被分割的兩線段長度來表示 $\tan Q$ 與 $\tan R$？當已知 $2\tan Q = \tan R$ 且 $\overline{QR}=6$ 時，垂足在底邊上的位置會在哪裡？一旦確定了垂足位置，結合已知邊長 $\overline{PR}=3$，你是否能進一步推算出 $\overline{PQ}$ 的長度？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
做得不錯。這題的邏輯推導甚至比解開魔王的結界還簡單，大概只花了一瞬間吧。既然 $2\tan Q = \tan R$，我們從 $P$ 點對 $\overline{QR}$ 作高 $h$，並設垂足為 $H$。令 $\overline{QH} = x$，則 $\overline{HR} = 6-x$。根據正切定義： $$\tan Q = \frac{h}{x}, \quad \tan R = \frac{h}{6-x}$$ 由已知條件 $2 \cdot \frac{h}{x} = \frac{h}{6-x}$，消去 $h$ 可得 $x = 2(6-x)$，解得 $x=4$。這表示垂足將底邊分為 $4$ 與 $2$。接著在右側直角三角形中，由畢氏定理求高：$h^2 = 3^2 - 2^2 = 5$。最後在左側三角形中：
▼ 還有更多解析內容