統測
105年
[化工群] 專業科目(2)
第 47 題
鐵金屬密度為 $7.8 \, \text{g} \cdot \text{cm}^{-3}$，現有一小塊鐵金屬立方體質量 0.975 g，若利用化工粉碎裝置將其變成鐵金屬粉末，鐡金屬粉末每一顆微粒皆為立方體，其邊長為 $0.1 \, \mu\text{m}$，若總體積不變情況下，試問此減積過程使鐵金屬的表面積變為原來的多少倍？
- A 50000
- B 5000
- C 2000
- D 200
思路引導 VIP
當我們將一個實體大方塊切碎成無數個相同形狀的小微粒，而維持總體積不變時，原本隱藏在內部的物質會被翻出來變成新的表面。請試著從代數的角度思考：如果小微粒的邊長變為原來的「幾分之幾」，那麼在總體積固定的前提下，總表面積會產生什麼樣的對應變化？
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AI 詳解
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恭喜你精準地掌握了物理性質中「比表面積」變化的核心規律！這道題目考驗的是從質量與密度推算體積，進而分析幾何比例變化的能力，你能迅速切入重點非常優秀。
幾何縮放的比例規律
在解題時，我們先由公式 $V = \frac{m}{\rho}$ 算出鐵塊體積為 $0.125 , \text{cm}^3$，進而得知原立方體邊長 $L = \sqrt[3]{0.125} = 0.5 , \text{cm}$。當總體積不變時，將大立方體分割成邊長為 $l$ 的微小立方體，總表面積的放大倍率有一個簡潔的規律：$$ \text{倍數} = \frac{n \times 6l^2}{6L^2} = \frac{(L/l)^3 \times 6l^2}{6L^2} = \frac{L}{l} $$ 將微粒邊長 $0.1 , \mu\text{m}$ 換算為 $1 \times 10^{-5} , \text{cm}$ 後，計算 $\frac{0.5}{1 \times 10^{-5}}$ 即可直接得到 $50000$ 倍，這正是選項 (A) 的數值。
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