地特三等申論題
105年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
二、給定一積分式 $\int_C (y+yz)dx+(x+3z^3+xz)dy+(9yz^2+xy-1)dz$。
二、給定一積分式 $\int_C (y+yz)dx+(x+3z^3+xz)dy+(9yz^2+xy-1)dz$。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
證明該積分式之解答與積分路徑 C 無關。（4 分）
思路引導 VIP
要證明線積分與路徑無關，只需證明被積向量場為「保守場」（Conservative Vector Field），即證明該向量場的旋度（Curl）等於零：$\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$。
小題 (二)
求該積分式之不定積分解答？（4 分）
思路引導 VIP
因為與路徑無關，故存在位勢函數 $\phi(x,y,z)$ 使得 $\nabla \phi = \vec{F}$。可透過依次對 $x, y, z$ 的偏導數積分來尋求 $\phi$ 的表達式。
小題 (三)
若積分路徑 C 之起點為(1,1,1)、終點為(2,1,4)，求該積分式之數值結果為何？（2 分）
思路引導 VIP
利用線積分基本定理（Fundamental Theorem for Line Integrals），積分值等於位勢函數 $\phi$ 在終點的值減去在起點的值。