調查局三等申論題
105年
[電子科學組] 工程數學
第 三 題
三、設 f(x) = { tan^-1 x, x ∈ (0,1); 3 sin^-1(x/2) + 1, x ∈ (-1,0] } 又，在(–1, 1)區間內，f(x)之 Fourier 級數可用下述的 g 函數表示之：g(x) = a0/2 + \sum_{n=1}^{∞} [an cos(nπx) + bn sin(nπx)]，若此 g 函數之 Fourier 級數表示式亦適用於(–1, 1)之區間，則 g(3) + g(4) + g(√3)之值為何？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到分段函數的傅立葉級數收斂問題，首要步驟是確定函數的週期（T=2），再利用 Dirichlet 收斂定理：連續點直接代入函數值，不連續點及端點則取左右極限的算術平均。此外，留意將所求點利用週期平移至原定義區間內，並小心處理反三角函數的極限值與特殊角計算。
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【解題思路】利用傅立葉級數的週期性（週期 $T=2$）將所求計算點平移至原定義域 $(-1, 1)$ 內，並應用 Dirichlet 定理判斷收斂值：連續點收斂於函數值，不連續點收斂於左右極限之平均。 【詳解】 已知：
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