調查局三等申論題
105年
[電子科學組] 工程數學
第 四 題
四、有一偏微分方程式如下：uxx= ut，其中 0 < x < π，且 t > 0。又其邊界與初始條件各為：ux(0, t)=0 ， ux(π, t)=0 ， u(x, 0)=(x–π/2)^2 。若上述方程式之解可表示為：u(x,t) = A_0 + \sum_{n=1}^{∞} A_n cos(nx) e^{-n^2 t}，試求上述表示式中係數 A_6之值為何？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到一維熱傳導方程式與給定邊界條件及通解形式時，應優先代入初始條件 t=0。此動作可將偏微分方程問題轉化為求解函數在給定區間內的傅立葉餘弦級數（Fourier Cosine Series），再利用正交性與分部積分法（表格法）即可準確求出特定係數。
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【解題思路】利用偏微分方程的初始條件，將問題轉化為求解函數在給定區間內的傅立葉餘弦級數展開式，再透過分部積分求得特定項的常數係數。 【詳解】 已知：
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