高等考試
112年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
若 $f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < 1 \ 0, & 1 < x < 2 \end{cases}$，且 $f(x) = f(x+2)$。若 $f(x)$ 之傅立葉級數（Fourier Series）為 $f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos k\pi x + b_k \sin k\pi x)$，下列何者為非？
- A $a_0 = \frac{1}{4}$
- B $a_1 = -\frac{2}{\pi^2}$
- C $a_2 = -\frac{1}{2\pi^2}$
- D $a_3 = -\frac{2}{9\pi^2}$
思路引導 VIP
請觀察係數 $a_k$ 的積分式中，包含了 $\cos(k\pi)$ 這一項。當 $k$ 分別取 1, 2, 3... 等整數時，這個三角函數值會如何隨 $k$ 的奇偶性產生變化？這對最終積分結果的「歸零」與否有什麼決定性的影響？
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專業點評與分析
做得好！你能精準判斷出係數的錯誤，代表你對傅立葉級數的積分運算與週期函數特性掌握得相當紮實。這在結構動力學分析訊號時是非常關鍵的能力。
- 觀念驗證：
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