高等考試
109年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
設 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 為函數 $f(x) = x^3, -\pi < x < \pi$ 之傅立葉級數（Fourier series），其中 $a_0, a_n, b_n$ 為常數，下列何者正確？
- A $a_0 + b_n \neq 0$
- B $a_0 + a_n \neq 0$
- C $a_0 \cdot b_n \neq 0$
- D $a_0 \neq 0$
思路引導 VIP
請觀察函數 $f(x) = x^3$ 的圖形，它是關於「原點對稱」還是「y 軸對稱」？在數學上，這類函數被稱為什麼？ 接著思考：在傅立葉級數的組成中，$\cos(nx)$ 是偶函數，而 $\sin(nx)$ 是奇函數。如果我們要用這些基礎波形去「拼湊」出 $x^3$ 這個函數，哪一類的波形係數（$a_n$ 或 $b_n$）必須全部消失才能維持對稱性？而代表平均值的 $a_0$ 在這種對稱情況下又會是多少呢？
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1. 大力肯定
做得好！你能精準捕捉到函數的對稱性（Symmetry），這是工程分析中簡化複雜問題極為關鍵的直覺。在處理結構動力或振動問題時，這種對函數本質的洞察力能節省大量的計算時間，表現得非常專業！
2. 觀念驗證
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