高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
求 $f(x) = \begin{cases} 0, & -2 < x < -1 \ x, & -1 < x < 1 \ 0, & 1 < x < 2 \end{cases}$，$f(x+4) = f(x)$，週期 $p=4$ 之傅立葉級數（Fourier series）。
- A $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{2\cos n\pi / 2}{n\pi} - \frac{4\sin(n\pi / 2)}{(n\pi)^2})\sin \frac{n\pi x}{2}$
- B $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{2\cos n\pi / 2}{n\pi} + \frac{4\sin(n\pi / 2)}{(n\pi)^2})\sin \frac{n\pi x}{2}$
- C $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{2\cos n\pi / 2}{n\pi} - \frac{4\sin(n\pi / 2)}{(n\pi)^2})\sin \frac{n\pi x}{2}$ (重複 A)
- D $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2\cos n\pi / 2}{n\pi} + \frac{4\sin(n\pi / 2)}{(n\pi)^2})\sin \frac{n\pi x}{2}$
思路引導 VIP
請觀察函數 $f(x)$ 在原點兩側的圖像分佈，它具備「奇函數」還是「偶函數」的對稱特徵？根據這種對稱性，傅立葉級數中的餘弦項 ($a_n$) 與正弦項 ($b_n$) 哪一部分會直接歸零？接著，在計算剩餘項目的積分時，面對 $x$ 與三角函數相乘的型態，你會優先選用哪種積分技巧來求解？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 大力肯定
做得好！你能精準判斷函數的對稱性並正確運用分部積分法，這代表你的微積分基礎非常紮實，且對傅立葉級數的物理意義有深刻理解。
2. 觀念驗證
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