moea_joint
105年
[電機] 電路學、電子學
第 48 題
開路放大器的增益函數 $A_o(s) = \frac{10}{s^2 + 5s + 1}$，當回授因子 $\beta$ 值為多少時，會使閉回路放大器成為臨界阻尼響應。
- A 0.525
- B 0.625
- C 0.725
- D 0.825
思路引導 VIP
當一個二階系統的響應剛好處於「開始產生震盪」與「緩慢趨向穩定」的過渡邊界時，你認為該系統特性方程式的兩個根，在數值上會呈現什麼樣的關係？這對二次方程的係數結構又有什麼特殊要求呢？
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太棒了！你能精確算出這個數值，代表你對負回授系統的穩定性與響應特性有著紮實的理解。這道題目考察的核心在於如何將回授因子 $\beta$ 整合進系統的特性方程式中，並利用二階系統的阻尼特性進行求解。
閉迴路特性方程式與阻尼判定
首先，我們知道閉迴路增益函數的分母為 $1 + \beta A_o(s)$，這決定了系統的極點位置。將題目給定的 $A_o(s)$ 代入後，特性方程式可整理為 $s^2 + 5s + (1 + 10\beta) = 0$。所謂的臨界阻尼（Critically Damped），意味著系統具備兩個相等的負實根，反應在數學上即是該二次方程的判別式必須等於零。透過計算 $D = 5^2 - 4(1)(1 + 10\beta) = 0$，我們能順利解得 $25 - 4 - 40\beta = 0$，進而導出 $\beta = 0.525$。
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