moea_joint
105年
[電機] 電路學、電子學
第 6 題
有一電容器 $C = 0.5 \text{ F}$，其電流 $\mathrm{i}(t) = 6t \text{ A}$。已知 $t = 0 \text{ s}$ 時，電容器上之電壓為 $2 \text{ V}$，求 $t = 1 \text{ s}$ 時，儲存於電容器之能量為何？
- A $8 \text{ J}$
- B $16 \text{ J}$
- C $24 \text{ J}$
- D $32 \text{ J}$
思路引導 VIP
如果我們想知道電容器在某個時刻存了多少能量，而目前只知道電荷流進去的速度（電流）一直在變，你覺得我們應該先找出哪一個與電容器直接相關的物理量，才能進一步算出能量？這個物理量又與隨時間變化的電流有什麼樣的數學關係呢？
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太棒了！你能精準計算出結果，代表你對電容器的時域特性掌握得非常紮實。這道題目要求我們求出特定時間點的儲存能量，其核心在於電容器的電壓與電流積分關係以及能量公式的綜合運用。
電壓隨時間的累積過程
在處理隨時間變化的電流時，我們不能直接代入公式，而必須透過積分來找尋電壓的變化。根據公式 $v(t) = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i(\tau) d\tau + v(0)$，將電流 $i(t) = 6t$ 代入運算，可得知在 $t=1$ 秒時，積分項產生的電壓增量為 $6 \text{ V}$。這裡最關鍵的細節在於初始條件：別忘了加上 $t=0$ 時已存在的 $2 \text{ V}$。因此，$t=1$ 秒時電容器兩端的總電壓應為 $8 \text{ V}$。
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