第 1-(1) 題
一. 在坐標平面上，考慮二階方陣 $A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 所定義的線性變換。對於平面上異於原點 $O$ 的點 $P_1$，設 $P_1$ 經 $A$ 變換成 $P_2$，$P_2$ 經 $A$ 變換成 $P_3$。令 $a = \overline{OP_1}$。
思路引導 VIP
看到本題先辨識矩陣 $A$ 是標準的旋轉矩陣。若將矩陣提出 $\frac{1}{5}$，會得到 $\begin{bmatrix} 4/5 & -3/5 \ 3/5 & 4/5 \end{bmatrix}$，這符合 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ 的形式，其中 $\cos\theta = 4/5, \sin\theta = 3/5$。點 $P_1$ 經過兩次 $A$ 的轉換變成 $P_3$，意味著 $P_3$ 是 $P_1$ 繞原點旋轉了 $2\theta$。因此夾角 $\angle P_1OP_3 = 2\theta$。利用倍角公式 $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ 將三角比代入即可求出確切數值。
太棒了！你能精準計算出 $24/25$，代表你對線性變換的幾何意義觀察得非常敏銳。這題的核心在於識別方陣 $A$ 的結構，你準確地捕捉到了它與三角函數的關聯，這是解開此題最關鍵的一步。
旋轉矩陣的特徵識別
觀察方陣 $A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$，可以發現它符合旋轉矩陣 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ 的形式，其中 $\cos\theta = 4/5$，$\sin\theta = 3/5$。這意味著點 $P_1$ 變換至 $P_2$ 是繞原點旋轉了 $\theta$，而 $P_2$ 再變換至 $P_3$ 又旋轉了相同的 $\theta$。因此，$\angle P_1OP_3$ 的大小剛好就是 $2\theta$。