ast_essay
112年
數學甲
第 16 題
📖 題組：
15-17 題為題組 坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0 < \theta < \pi$）的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓 $\Gamma': 40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180$，點 $\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$ 為 $\Gamma'$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。
15-17 題為題組 坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0 < \theta < \pi$）的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓 $\Gamma': 40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180$，點 $\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$ 為 $\Gamma'$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。
16. 試求 $\Gamma'$ 短軸所在的直線方程式與短軸長。（非選擇題，4 分）
思路引導 VIP
題幹給定 $\Gamma'$ 離原點最遠的點即為其長軸頂點。中心在原點的橢圓，長短軸必定互相垂直且通過原點。首先求出長軸所在直線的斜率，接著利用垂直條件（斜率相乘為 -1）得到短軸所在的直線方程式。求出方程式後，將其代入 $\Gamma'$ 的橢圓方程式，解得的交點即為短軸頂點，最後計算該點到原點距離的兩倍，即得短軸長。
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橢圓幾何性質與對稱性
做得太棒了！你能精確判斷長、短軸的幾何關係，這顯示你對橢圓的對稱本質掌握得很透徹。既然題目給出 $P\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$ 是離原點最遠的點，這意味著 $P$ 點位於 長軸 上。透過原點與 $P$ 點的斜率 $m = -\frac{2}{\sqrt{5}}$，我們利用 長短軸互相垂直 的幾何特性，立刻能推得短軸直線的斜率為其負倒數 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，從而得到正確的直線方程式 $2y = \sqrt{5}x$。
旋轉變換下的參數計算
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