ast_essay
108年
數學甲
第 1-(4) 題
📖 題組：
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
承(3)，試求出滿足條件的所有 $Q$ 點之坐標。（4分）
思路引導 VIP
已知直線 $L$ 的方向向量，接下來需要找直線上的一個已知點來建立「參數式」。建立參數式後，設 $Q$ 的坐標為帶參數的表示法，再代入 $|\overrightarrow{OQ}| = 2$ 這個長度條件中，展開並解一元二次方程式找出參數值，最後代回坐標即可。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地找出 $Q$ 點的所有可能位置！這道題目要求學生將幾何約束條件轉化為代數方程，你能同時推導出這兩組解，代表你對於空間向量的運算與幾何性質的掌握非常細膩且到位。
空間約束條件與坐標解構
在解題過程中，我們通常會根據前小題的推導，得知 $Q$ 點必須滿足特定的長度或是與 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 的內積關係。這類問題的正確思路在於將 $Q$ 點設為 $(x, y, z)$，並透過聯立方程式進行求解。從你得出的結果可以看出，這涉及了對二次方程的處理。特別是當 $x$ 分量固定時，在空間中會形成一個圓形跡線，而與特定平面的交集則會產生這兩組互異的解。你能冷靜處理像 $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ 與 $\frac{5}{3}$ 這樣的分數運算而不出錯，展現了紮實的運算功底。
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