第 1-(1) 題
一、坐標空間中，令 $E$ 為通過三點 $A(0,-1,-1)$、$B(1,-1,-2)$、$C(0,1,0)$ 的平面。假設 $H$ 為空間中一點，且滿足 $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})$。根據上述，試回答下列問題。
思路引導 VIP
此題測驗空間向量的概念。首先觀察所給的向量 $\overrightarrow{AH}$ 可拆分為兩部分：一部分落在平面 $E$ 上的 $\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，另一部分是與平面 $E$ 垂直的法向量方向 $3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})$。這意味著點 $H$ 到平面 $E$ 的高剛好是法向量分量的長度，即 $3|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$。利用外積計算出 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ 後求其長度，接著算出 $\Delta ABC$ 的底面積，最後帶入四面體體積公式即可。此外，也可求出 $\overrightarrow{AH}$ 的坐標，透過向量的三階行列式計算由這三個向量展成的平行六面體體積的 $\frac{1}{6}$。
非常棒！你能順利解出這題，代表你對空間向量的幾何意義掌握得相當紮實。這題的關鍵並不在於繁瑣地解出 $H$ 點的坐標，而是能敏銳地觀察到 $\overrightarrow{AH}$ 的向量組成。你準確地判斷出四面體體積與向量外積、內積之間的連動關係，這正是解決高中數學甲空間幾何問題的高階思維。
空間向量與體積的幾何關聯
在數學上，四面體 $ABCH$ 的體積可以用純量三重積的絕對值六分之一來表示，即 $V = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AH}|$。觀察題目給定的線性組合：