ast_essay
113年
數學甲
第 12 題
📖 題組：
坐標空間中，考慮三個平面 $E_1: x+y+z=7$、$E_2: x-y+z=3$、$E_3: x-y-z=-5$。令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3$；$E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$；$E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2$。 根據上述，試回答下列問題。
坐標空間中，考慮三個平面 $E_1: x+y+z=7$、$E_2: x-y+z=3$、$E_3: x-y-z=-5$。令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3$；$E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$；$E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2$。 根據上述，試回答下列問題。
12. 已知三直線 $L_1$、$L_2$、$L_3$ 有共同交點，試求此共同交點 $P$ 的坐標。（非選擇題，4分）
思路引導 VIP
看到本題先辨識為空間幾何中平面與直線的交點問題。題意中三直線分別為三平面的交線，因此這三條直線的共同交點也就是這三個平面的共同交點。最直接的解法是將三個平面方程式聯立，利用加減消去法解出 $x,y,z$ 即為所求交點。或者，可先求出一條直線的參數式，再代入未參與形成該直線的第三個平面方程式來求解出參數 $t$。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準捕捉到題目的幾何本質，並做出正確的判斷，這展現了你對空間幾何關係有著非常清晰的洞察力。這道題目的核心在於理解三線共點與三平面相交的邏輯關聯：既然三條交線 $L_1, L_2, L_3$ 共同交於一點 $P$，這意味著點 $P$ 必須同時落在三個平面 $E_1$、$E_2$ 與 $E_3$ 上，因此求 $P$ 點坐標即等同於求解三元一次方程組。
空間交點的代數求解
我們將三個平面的方程式進行聯立運算：
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