ast_essay
107年
數學甲
第 1-(4) 題
📖 題組：
一. 坐標空間中有一個正立方體 $ABCDEFGH$，如圖所示（此為示意圖），試回答下列問題。
一. 坐標空間中有一個正立方體 $ABCDEFGH$，如圖所示（此為示意圖），試回答下列問題。
(4) 承(3)，試求出 $G$ 點的坐標。（ 4 分）
思路引導 VIP
遇到這類連鎖題，先回頭檢視前面的結論：(1) 的距離倍數關係與 (2) 的垂直關係。由 $\vec{AG} \perp BDE$ 可知 $\vec{AG}$ 平行於法向量 $(2,2,-1)$。再由 $A$ 到平面距離 $d=3$，得出全對角線長度應為 $3d=9$。可直接用長度與法向構建出向量 $\vec{AG}$，注意有正負兩種可能，需透過幾何位置（$A,G$ 兩點分布在平面兩側）來排除不合的情境；或利用垂足/投影點找出確切方向來求出座標。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地計算出 $G$ 點的坐標為 $(-4, -4, 9)$！這代表你在處理空間幾何問題時，對於點與點之間的相對位置與空間聯繫，有著非常清晰且正確的邏輯判斷。
空間向量的線性組合應用
在正立方體中，求取特定頂點坐標最直覺的方法就是利用向量相等與平移的概念。由於 $G$ 點與底面的 $C$ 點在垂直方向上具有相同的向量位移（即 $\vec{CG} = \vec{AE}$ 或 $\vec{CG} = \vec{BF}$），我們只需要將前一小題求得的頂點坐標加上立方體的邊向量，即可快速定位。這種透過已知點位進行「向量加法」的思考方式，是解決空間圖形問題的萬用鑰匙，而你顯然已經熟練掌握了這項工具。
▼ 還有更多解析內容