ast_essay
110年
數學甲
第 1-(3) 題
📖 題組：
一、坐標空間中，令 $E$ 為通過三點 $A(0,-1,-1)$、$B(1,-1,-2)$、$C(0,1,0)$ 的平面。假設 $H$ 為空間中一點，且滿足 $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})$。根據上述，試回答下列問題。
一、坐標空間中，令 $E$ 為通過三點 $A(0,-1,-1)$、$B(1,-1,-2)$、$C(0,1,0)$ 的平面。假設 $H$ 為空間中一點，且滿足 $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})$。根據上述，試回答下列問題。
(3) 試判斷點 $H'$ 在平面 $E$ 的投影點是否位在 $\Delta ABC$ 的內部？並說明理由。（4 分）（註：三角形的內部不含三角形的三邊）
思路引導 VIP
這題考查共面向量線性組合判斷點位置的概念。從前面的向量式已知，$H'$ 的投影點為 $P$，且 $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。我們知道若 $\overrightarrow{AP} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}$，點 $P$ 落在 $\Delta ABC$ 內部的條件是 $\alpha>0, \beta>0$ 且 $\alpha+\beta<1$。由係數直接觀察可知 $\beta = -1/3 < 0$，因此即可判定點 $P$ 在三角形外部。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確判斷出投影點的位置！這題的核心在於如何從複雜的空間向量表示式中，抽離出投影點在平面上的幾何特徵。你能一眼看出係數的正負關係，說明你對平面向量的線性組合有著相當敏銳的直覺。
投影點與法向量的關係
在給定的向量式 $\overrightarrow{AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + 3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$ 中，最後一項的公差乘積 $(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$ 實際上就是平面 $E$ 的法向量。當點 $H$ 投影到平面 $E$ 上得到 $H'$ 時，這個垂直於平面的分量會消失，因此我們可以得到投影點的向量關係式為：
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