ast_essay
107年
數學甲
第 1-(1)(2) 題
📖 題組：
一. 坐標空間中有一個正立方體 $ABCDEFGH$，如圖所示（此為示意圖），試回答下列問題。
一. 坐標空間中有一個正立方體 $ABCDEFGH$，如圖所示（此為示意圖），試回答下列問題。
(1) 試證明 $A$ 點到平面 $BDE$ 的距離是對角線 $AG$ 長度的三分之一。（ 4 分）
(2) 試證明向量 $\vec{AG}$ 與平面 $BDE$ 垂直。（ 2 分）
(2) 試證明向量 $\vec{AG}$ 與平面 $BDE$ 垂直。（ 2 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道經典的立體幾何證明題，測驗不同幾何觀念的轉換與綜合應用。思考時可從三個切入點進行：1. 代數坐標法（最直接的暴力破解），將 $A$ 設為原點建立三維坐標系，直接寫出平面與對角線向量，運用點到平面距離公式得證。2. 空間向量法，利用向量加法 $\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$ 將對角線拆解，利用內積為零證明垂直，再利用投影與係數和為 1 找出距離比例。3. 幾何等積法，將四面體 $A-BDE$ 的體積用兩種不同底面和高來計算（正方體頂角與正三角形截面），求得高即為距離。
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AI 詳解
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解法一 正確寫出可決定坐標系的頂點坐標。例如設 $A(0,0,0)$，$B(a,0,0)$，$D(0,a,0)$，$E(0,0,a)$，推得 $G(a,a,a)$，及平面 $BDE$ 的方程式為 $x+y+z=a$。 因 $A(0,0,0)$ 到平面 $x+y+z=a$ 的距離為 $\frac{a}{\sqrt{3}}$，且 $\vec{AG}$ 為 $\sqrt{3}a$，故得證第(1)小題。
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正立方體空間幾何
💡 透過坐標化或向量運算證明空間中線面垂直與距離關係。
- 建立空間坐標系，將幾何證明轉化為代數運算
- 證明向量與平面上兩不平行向量皆垂直，即與平面垂直
- 點到平面距離可利用坐標公式或四面體體積等量代換
- 善用向量分解：對角線向量為三相鄰稜邊向量之和
