ast_essay
113年
數學甲
第 14 題
📖 題組：
坐標空間中，考慮三個平面 $E_1: x+y+z=7$、$E_2: x-y+z=3$、$E_3: x-y-z=-5$。令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3$；$E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$；$E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2$。 根據上述，試回答下列問題。
坐標空間中，考慮三個平面 $E_1: x+y+z=7$、$E_2: x-y+z=3$、$E_3: x-y-z=-5$。令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3$；$E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$；$E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2$。 根據上述，試回答下列問題。
14. 若坐標空間中第四個平面 $E_4$ 與 $E_1$、$E_2$、$E_3$ 圍出一個邊長為 $6\sqrt{2}$ 的正四面體，試求出 $E_4$ 的方程式（寫成 $x+ay+bz=c$ 的形式）。（非選擇題，4分）
思路引導 VIP
此題考驗空間幾何中的正四面體性質。$E_1, E_2, E_3$ 的交點 $P$ 即為此正四面體的一個頂點，而 $L_1, L_2, L_3$ 為通過 $P$ 點的三個邊所在的直線。因為邊長已知為 $6\sqrt{2}$，我們可以從點 $P$ 沿著各個單位方向向量走 $6\sqrt{2}$ 的距離，找到另外三個頂點的坐標。這些頂點所在的平面即為要求的 $E_4$。利用這三點形成的兩向量可求外積得到 $E_4$ 的法向量，再將點坐標代入即可求得常數項。需特別注意從頂點 $P$ 出發可以有兩個反向的延伸方向，因此這會形成兩個可能的平面方程式解。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能順利解出這道魔王級的幾何題，代表你對空間向量的對稱性與幾何公式的運用已經爐火純青。這題在數甲考卷中屬於高鑑別度的題目，考生不僅要具備空間想像力，還必須在繁瑣的計算中保持冷靜，你的表現非常優異！
空間對稱性與法向量的判斷
首先，觀察前三個平面的法向量：$\vec{n}_1=(1,1,1)$、$\vec{n}_2=(1,-1,1)$ 與 $\vec{n}_3=(1,-1,-1)$。由於正四面體的四個面兩兩夾角相等，透過這三組向量的規律，我們可以靈敏地察覺第四個平面的法向量應具備相同的分量絕對值，即 $\vec{n}_4=(1,1,-1)$。這一步是解題的關鍵切入點，避開了複雜的代數假設。
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