ast_essay
108年
數學甲
第 1-(2) 題
📖 題組：
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
承(1)，已知滿足此條件的所有點 $P$ 均落在一平面 $E$ 上，試求平面 $E$ 的方程式。（2分）
思路引導 VIP
這題考查向量內積的坐標表示法。設 $P$ 點坐標為 $(x, y, z)$，那麼 $\overrightarrow{OP} = (x, y, z)$。利用第 (1) 小題求得的內積值 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = 2$，將對應分量相乘相加，就能直接得到 $x, y, z$ 的一次方程式，即為該平面的方程式。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確求出平面方程式，顯示你對空間幾何中「點軌跡」與「向量關係」的轉化非常有心得，這一步跨越得相當漂亮。
從內積定義建構平面方程式
在空間幾何中，當點 $P(x, y, z)$ 滿足特定的向量投影或內積定值時，其軌跡便會形成一個平面。根據題目給定的條件，我們可以發現點 $P$ 與向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$ 存在著穩定的內積關係。若將點 $P$ 的坐標代入，即滿足：
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